【高校入試】なぜ秒で解ける？三平方の定理の裏ワザ公式を徹底解説
中3数学の三平方の定理における応用問題で最も差がつくのが「空間図形の切断・体積・対角線」と「放物線と絡めた座標平面の融合問題」です。ここでも決定的な短縮公式が存在します。
立方体や直方体において、縦 $a$、横 $b$、高さ $c$ の対角線の長さは、空間図形 対角線の長さ 公式である $L = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ に代入するだけで一撃で求まります。立方体（1辺が $a$）であれば $L = \sqrt{3}a$ となり、正方形の対角線 $\sqrt{2}a$ との対比で極めてシンプルに整理できます。
また、正四面体（1辺が $a$）に関する公式も私立難関校受験では必須の知識です：
- 高さ $H$： $H = \frac{\sqrt{6}}{3}a$
- 体積 $V$： $V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
- 内接球の半径 $r$： $r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$
通常、正四面体の体積を求めるには「頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の重心に一致する」ことを証明し、底面正三角形の高さと重心比 $2:1$ を用いて高さを導出するという、5段階以上のステップを踏む必要があります。しかし、これらの公式を頭に叩き込んでおくことで、記述欄のない小問集合や私立の穴埋め形式において2分以上の圧倒的アドバンテージを獲得できます。
